Сайт учителей информатики
Скобелевых Сергея Федоровича и Татьяны Сергеевны
Анализ информации, представленной в виде схем.
Рассмотрим несколько задач:
Задание 1
На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж?
Решение.
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом если путь должен не проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город наоборот обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 4
Е = Б = 1
З = Д = 1
Ж = Б + В + Г+ Д + Е + З = 1 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10
И = Ж = 10 (путь в И через З и Е не учитываем, т. к. надо пройти через Ж).
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город И, проходящих через город Ж, равно произведению количества путей из города А в город Ж и количества путей из города Ж в город И.
Найдем количество путей из города А в город Ж:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 4
Е = Б = 1
З = Д = 1
Ж = Б + В + Г+ Д + Е + З = 1 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
Из города Ж в город И есть только один путь.
Тогда количество путей из города А в город И, проходящих через город Ж, равно 10 * 1 = 10.
Ответ: 10
Задание 2
На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город Л?
Решение.
Количество путей до города П равно сумме путей в каждый из тех городов, из которых есть дорога в П. С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов, кроме тех, которые не проходят через город Л:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Б = 1 + 1 = 2
В = Б + Г = 1 + 2 = 3
Е = Г + Д = 2 + 1 = 3
Ж = В + Г + Е = 3 + 2 + 3 = 8
K = Ж = 8
Н = Ж = 8
М = Ж + Н = 16
Л = К + Ж + М = 8 + 8 + 16 = 32
П = Л = 32 (так как ищем пути проходящие через город Л).
Приведем другое решение.
Заметим, что путь из города А в город П обязательно должен проходить через город Ж. По условию задачи путь должен также проходить через город Л. Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город Л, равно произведению количества путей из города А в город Ж, количества путей из города Ж в город Л и количества путей из города Л в город П.
Найдем количество путей из города А в город Ж:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Б = 1 + 1 = 2
В = Б + Г = 1 + 2 = 3
Е = Г + Д = 2 + 1 = 3
Ж = В + Г + Е = 3 + 2 + 3 = 8.
Найдем количество путей из города Ж в город Л (при этом Ж - исходный пункт):
Ж = 1
Н = К = Ж = 1
М = Ж + Н = 2
Л = К + Ж + М = 4.
Из города Л в город П есть только один путь.
Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город Л, равно 8 * 4 * 1 = 32.
Ответ: 32
Задание 3
На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город М?
Решение.
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Н = Д + Ж = 9.
М = Ж + Н = 17.
Л = М = 17 (Ж и К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).
П = Л + М = 34 (К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город М.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно произведению количества путей из города А в город М и количества путей из города М в город П.
Найдем количество путей из города А в город М:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Н = Д + Ж = 9.
М = Ж + Н = 17.
Найдем количество путей из города М в город П (при этом М - исходный пункт):
М = 1.
Л = М = 1.
П = Л + М = 2.
Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно 17 * 2 = 34.
Ответ: 34
Ниже можно скачать файл с задачами для тренировки:
