Простой линейный алгоритм для формального исполнителя.

 

Задача 1 

У исполнителя Омега две команды, которым присвоены номера:

1. прибавь 3;

2. раздели на b

(b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2).

Выполняя первую из них, Омега увеличивает число на экране на 3, а выполняя вторую, делит это число на b. Программа для исполнителя Омега — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 30 в число 12. Определите значение b.

Решение. 

Заметим, что после выполнения первых двух команд мы получаем число 36. Далее, составим и решим уравнение:

Ответ: 6

 

Задача 2

У исполнителя Квадратур две команды, которым присвоены номера:

1. прибавь 1

2. возведи в квадрат

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая возводит его во вторую степень.

Составьте алгоритм получения из числа 3 числа 84, содержащий не более 5 команд. В ответе запишите только номера команд.

 (Например, 11221 — это алгоритм:

прибавь 1

прибавь 1

возведи в квадрат

возведи в квадрат

прибавь 1,

который преобразует число 1 в 82.)

Если таких алгоритмов более одного, то запишите любой из них.

Решение.

Не любое число является квадратом целого числа, поэтому, если мы пойдём от числа 84 к числу 3, тогда однозначно восстановим программу. Полученные команды будут записываться справа налево.

1. Число 84 не является квадратом, поэтому оно получено добавлением единицы к числу 83: 84 = 83 + 1 (команда 1).

2. Число 83 не является квадратом, поэтому оно получено добавлением единицы к числу 82: 83 = 82 + 1 (команда 1).

3. Число 82 не является квадратом, поэтому оно получено добавлением единицы к числу 81: 82 = 81 + 1 (команда 1).

4. Число 81 является квадратом числа 9: 81 = 9 · 9 (команда 2).

5. Число 9 является квадратом числа 3: 9 = 3 · 3 (команда 2).

Искомая последовательность команд: 22111.

Ответ: 22111

 

Задача 3

У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:

1. возведи в квадрат

2. прибавь b

(b — неизвестное натуральное число)

Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд.

Известно, что программа 12212 переводит число 2 в число 37. Определите значение b.

Решение.

Заметим, что после выполнения первой команды мы получаем число 4. Составим и решим уравнение:

 (4 + 2b)² + b = 37,

16 + 16b + 4b² + b = 37,

4b² + 17b − 21 = 0.

Решив, квадратное уравнение, получим:

b₁=1; b₂=−5.25.

Отрицательные корни не рассматриваются.

Соответственно, b=1.

Ответ: 1

 

 Ниже можно скачать файл с задачами для тренировки: